Física 1: movimento em duas e três dimensões, balística , pêndulo e movimento circular. (Módulo 4)

O movimento em duas e três dimensões é o movimento que não acontece apenas no chão em linha reta (como uma pista reta). Pode ser um movimento se aproximando do observador ou se afastando (como em uma curva), ou no ar, podendo ser um objeto sendo jogado para cima ou algo caindo. 

Movimento balístico

É o movimento de parábola, que é tipo a curva que um objeto faz quando jogamos ele para o alto. Não chamamos de circular, pois não é um círculo, é esta tal parábola. A equação que descreve o movimento de uma parábola é uma equação do segundo grau ( y = ax2 + bx + c ), já a trajetória do círculo é descrita por 2πR.

Curva (e leis de Newton)

A curva é uma trajetória circular em que o caminho percorrido é descrito pela equação 2πR, mas a força que puxa este objeto para o lado, fazendo com que ele perca a inércia e vire é chamada de força centrípeta. Como pela 2ª lei de Newton, a força é igual à massa vezes a aceleração, temos que fazer mais força para girar um corpo grande do que para girar um corpo pequeno. (pense na força que o Superman tem que fazer para mudar a direção de um avião ou de um trem, ou na força que você tem que fazer para empurrar um amigo seu que é magrelo ou que é gordinho) Ou seja, quando o corpo está em movimento, ele tende a permanecer em movimento retilíneo e uniforme (inércia, 1ª lei de Newton), então sem aceleração o corpo continua indo reto (retilíneo) pois não tem a força centrípeta (aceleração centrípeta) e uniforme ou seja,  com o mesmo módulo (velocidade com o mesmo número) pois é a aceleração que faz aumentar ou reduzir a velocidade. 

Resumindo, a aceleração vai mudar o vetor velocidade. Se for na curva, a aceleração que estiver tangente (tocando a curva em apenas um ponto indo reto para fora dela) muda o módulo (intensidade) da velocidade. Já a aceleração que está em direção ao centro da curva muda a direção e o sentido da velocidade.

Fórmulas de Movimento balístico e curva:

Movimento em duas e três dimensões: Módulo 4 – moodle UnB

1. Os vetores unitários î e j apontam para o leste e o norte, respectivamente. O vetor unitário, orientado para sudoeste é melhor representado por:

a. û = 0,500î + 0,866j

b. û = -0,707î - 0,707j 

c. û = 0,707î + 0,707j

d. û = 0,866î + 0,500j

e. û = -0,866î + 0,500j

Dica: Norte: para cima, Sul para baixo, Leste para a direita e Oeste para a esquerda. O sudoeste é na diagonal para baixo em direção à esquerda. Pense que i é o eixto x e j é o eixo y. Se ele diz que i e j apontam para o leste e norte, ele quer dizer que o eixo x aumenta para a direita e o eixo y aumenta para cima. Assim, algo que aponta para a diagonal esquerda para baixo tem valor negativo nos dois eixos.

2. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que quanto MAIOR o ângulo de lançamento MAIOR  o alcance vertical. A resposta correta é 'Verdadeiro'.

Dica: Quanto maior o ângulo entre o chão e a velocidade inicial que um objeto é arremessado,  mais força você faz para jogá-lo para cima e menos força para jogá-lo para o lado. Uma outra forma de pensar é colando a fórmula da altura máxima. Como a fórmula usa o seno: o seno é máximo é no ângulo de 90º, logo ao jogar 90º para cima, teremos a altura.

3. Depois da decolagem, um avião viaja 1,9 km do leste para o oeste, 2,2 km do sul para o norte, e 1,5 km de baixo para cima. Qual é a sua distância do ponto de partida? A resposta correta é: 3,27.

Dica: Aplique o Teorema de Pitágoras para as duas primeiras distâncias e depois, aplique novamente o Teorema de Pitágoras entre o resultado e a terceira distância.

4. Um satélite da Terra se move em uma órbita circular, 780km acima da superfície da Terra, com um período de 150 min. Sendo o raio da Terra igual a 6371 km, qual é o módulo da aceleração centrípeta do satélite em m/s²? Dica: o raio da órbita deve ser medido do centro da Terra.

A resposta correta é: 3,49.

Dica: Use a fórmula da aceleração centrípeta: velocidade ao quadrado dividida pelo raio da órbita terrestre.

5. Um projetil é lançado obliquamente em relação ao solo, em um local onde a aceleração da gravidade é considerada constante. Desse modo, desprezando a resistência do ar, é correto afirmar que durante todo o movimento do projetil sua aceleração vetorial resultante é constante. A resposta correta é: Verdadeiro.

  

6. Um corpo se move ao longo de uma trajetória curva com velocidade de modulo constante. Neste caso, é correto afirmar que o seu vetor velocidade media 'vm', em um dado intervalo de tempo, e igual ao seu vetor velocidade instantânea 'vi' no final do referido intervalo de tempo. A resposta correta é: Falso.

Dica: O vetor inclui a direção e o sentido. Em todo o trajeto de uma curva a direção e o sentido mudam. Quando a velocidade tem módulo constante, significa apenas que o valor da velocidade não muda.

7. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que para ângulos complementares os alcances horizontais serão idênticos. A resposta correta é 'Verdadeiro'.

8. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que para ângulos MAIORES que 45^o, quanto MAIOR o ângulo de lançamento, MAIOR o alcance horizontal. A resposta correta é 'Falso'.

Dica: Pense na definição do que é seno. Como as funções trigonométricas (seno, cosseno e tangente) são definidas como um círculo de raio 1 dentro de um eixo x e y: o seno no eixo y (e o cosseno a sombra no eixo x), então, o valor do seno será máximo no ângulo de 90º, mas a fórmula de alcance máximo não usa o seno do ângulo, usa o seno de duas vezes o ângulo. Então, dividimos os 90º por dois e o alcance máximo ocorre quando é o ângulo é 45º.

Então, para ângulos maiores 45º quanto maior o ângulo, menor o alcance, pois quando o ângulo aumenta, ele vai se afastando cada vez mais do ângulo que tem o alcance máximo.

Já para ângulos menores que 45º, quanto maior o ângulo, mais ele se aproxima de 45º, então quanto maior o ângulo, maior o alcance. Leia a questão de novo e veja se você entendeu.

9. Uma bola de futebol no solo é chutada com ângulo de 42,1° acima da horizontal e atinge a altura máxima de 9,4 m. Depois de atingir o ponto de máximo de sua trajetória, a bola cai em uma laje 2 segundos depois do chute. Qual o módulo do deslocamento da bola? Considere g = 9,81 m/s², despreze o atrito com o ar e escreva sua resposta em unidades do do SI. A resposta correta é: 30,99.

Dica: Use as fórmulas do alcance máximo (Rmax) e da altura máxima (Hmax)para resolver esta questão. 

Resoluções com cálculos:

Física 1. Módulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

Fonte: https://ifserv.fis.unb.br

Física 1. Módulo 4: Movimento em Duas e Três Dimensões

1. A posição inicial e a velocidade de um projétil são dados por r₀⃗ = 3 î + 4 ĵ e v₀⃗ = 6 î + 8 ĵ, respectivamente, onde r₀⃗  está em metros (m) e v₀⃗  em m/s.  Sendo g o módulo da aceleração da gravidade em m/s². A posição na direção vertical y ( t ) (em m) como uma função do tempo é dada por:

A resposta correta é: y ( t ) = 4 + 8t – 1/2gt².

2. A velocidade de um helicóptero de treinamento de 12.500 kg é dada por v⃗ (t) = (0,053 m/s⁴)t³ î+1,250 m/s ĵ +(0,015 m/s³)t² k̂. DETERMINE, em cm/s², o módulo da aceleração do helicóptero em t = 7,9 s.

A resposta correta é: 992,60.

3. A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada por v = (7,3t – 4,5t²)i + 5,9j, com v em metros por segundo e t em segundos. Qual é o módulo da aceleração no instante t = 2,6s?

A resposta correta é: 16,10.

4. Considere um projétil que, no instante t = 0 possui velocidade v = v_0xî + v_0yĵ, com v_0x > 0 e v_0y > 0. Entre os gráficos de funções de primeiro e segundo graus mostrados abaixo, qual poderia representar a evolução da componente v_x no tempo?

A resposta correta é: C.

5. Depois da decolagem, um avião viaja 8,6 km do leste para o oeste, 7,4 km do sul para o norte, e 6,9 km de baixo para cima. Qual é a sua distância do ponto de partida?

A resposta correta é: 13,28.

6. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que quanto MAIOR o ângulo de lançamento MAIOR o alcance vertical.

A resposta correta é 'Verdadeiro'.

7. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que para ângulos MAIORES que 45°, quanto MAIOR o ângulo de lançamento, MAIOR o alcance horizontal.

A resposta correta é 'Falso'.

8. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que para ângulos MENORES que 45°, quanto MAIOR o ângulo de lançamento, MAIOR o alcance horizontal.

A resposta correta é 'Verdadeiro'.

9. Desprezando a resistência do ar, a rotação da Terra e considerando o campo de gravidade uniforme, se uma pessoa arremessa duas bolas idênticas com a mesma velocidade inicial, mas formando dois ângulos iniciais diferentes, então, é correto afirmar que para ângulos complementares os alcances horizontais serão idênticos.

A resposta correta é 'Verdadeiro'.

10. Julgue os itens abaixo atribuindo (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.

a) Se você ignorar a resistência do ar em um movimento de projétil, então o vetor velocidade do projétil permanece constante. → F

b) No lançamento oblı́quo, desconsiderando a resistência do ar, no ponto de altura máxima a velocidade do corpo é nula. → F

11. Na figura abaixo, uma bola é lançada para a esquerda e para baixo, da extremidade do terraço de um edifı́cio, conforme o desenho. O ponto de lançamento está a uma altura h em relação ao solo e a bola chega ao solo 1,5 s depois, em uma distância horizontal d = 21,2 m do ponto de lançamento e fazendo um ângulo θ = 64,9° com o piso horizontal.

Considere a aceleração da gravidade 9.8 m/s². Determine em m/s, o módulo da velocidade inicial de lançamento.

A resposta correta é: 21,0.

12. Na figura abaixo, uma bola é lançada para a esquerda e para baixo, da extremidade do terraço de um edifı́cio, conforme o desenho. O ponto de lançamento está a uma altura h em relação ao solo e a bola chega ao solo 2,4 s depois, em uma distância horizontal d = 27,0 m do ponto de lançamento e fazendo um ângulo θ = 55,3° com o piso horizontal.

Considere a aceleração da gravidade 9.8 m/s². Determine em metros, o valor de h.

A resposta correta é: 10,8.

13. Na figura abaixo, uma bola é lançada para a esquerda e para baixo, da extremidade do terraço de um edifı́cio, conforme o desenho. O ponto de lançamento está a uma altura h em relação ao solo e a bola chega ao solo 1,3 s depois, em uma distância horizontal d = 21,1 m do ponto de lançamento e fazendo um ângulo θ = 55,8° com o piso horizontal.

Considere a aceleração da gravidade 9.8 m/s². Determine em graus, o ângulo em relação à horizontal com a qual a bola foi lançada.

A resposta correta é: 34,5.

14. Os vetores unitários î e j apontam para o leste e o norte, respectivamente. O vetor unitário, orientado para sudoeste é melhor representado por:

A resposta correta é: û = -0,707î - 0,707j.

15. Um avião sobrevoa Brasília em trajetória retilínea que passa sobre São Paulo. A distância entre as duas cidades é de 870 km e a aeronave voa com velocidade uniforme de 450 km/h em relação ao ar. O tempo gasto no trecho entre as duas cidades é 194 min. Calcule, em km/h, o módulo da velocidade do vento que sopra constante e perpendicular à trajetória durante todo o trecho.

A resposta correta é: 360,69.

16. Um corpo se move ao longo de uma trajetória curva com velocidade de modulo constante. Neste caso, é correto afirmar que o seu vetor velocidade media 'vm', em um dado intervalo de tempo, e igual ao seu vetor velocidade instantânea 'vi' no final do referido intervalo de tempo.

A resposta correta é: Falso.

17. Um projetil é lançado obliquamente em relação ao solo, em um local onde a aceleração da gravidade é considerada constante. Desse modo, desprezando a resistência do ar, é correto afirmar que durante todo o movimento do projetil sua aceleração vetorial resultante é constante.

A resposta correta é: Verdadeiro.

18. Um satélite da Terra se move em uma órbita circular, 964km acima da superfície da Terra, com um período de 129 min. Sendo o raio da Terra igual a 6371 km, qual é o módulo da aceleração centrípeta do satélite em m/s²? Dica: o raio da órbita deve ser medido do centro da Terra.

A resposta correta é: 4,83.

19. Uma bola de futebol no solo é chutada com ângulo de 42,1° acima da horizontal e atinge a altura máxima de 9,4 m. Depois de atingir o ponto de máximo de sua trajetória, a bola cai em uma laje 2 segundos depois do chute. Qual o módulo do deslocamento da bola? Considere g = 9,8 m/s², despreze o atrito com o ar e escreva sua resposta em unidades do do SI.

A resposta correta é: 30,98.