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02/02/2018

Física 1: Como resolver problemas de vetores? (Módulo 3) ... e Teorema de Pitágoras, Lei dos Senos e Cossenos

A regra básica é: decomponha os vetores em x e y. Ou seja, marque aonde daria a sombra dele nos eixos x e y. 
Nos exercícios a seguir, quando um valor é a sombra do vetor no eixo x, ele será indicado com um î (i chapéu, ou seja, uma letra "i" com um acento circunflexo em cima). Se aquele valor é a sombra no eixo y, este número será indicado por um "j" com acento circunflexo, ou seja, jota chapéu. 
Assim, um vetor pode ser escrito assim: x = 4i +3j... ou seja, este vetor está na diagonal, indo do ponto zero do eixo de coordenadas até em que a ponta da seta, Esta ponta da seta está com 4 pontos no eixo x e 3 pontos no eixo y. 
É importante também sempre usar retas paralelas aos eixos x e y para entender os desenhos com vetores, pois se conseguimos fazer um triângulo com o nosso vetor e retas paralelas aos eixos x e y, este triângulo será retângulo, ou seja, terá um ângulo de 90 graus. Quando temos um ângulo de 90 graus podemos fazer muitas coisas:
-Se temos dois lados, usamos o Teorema de Pitágoras e encontramos o outro lado. Assim, se temos as coordenadas no eixo x e y, encontramos o tamanho do vetor.
-Se temos um ângulo e um lado, usamos a própria definição do que é seno (lado sem o ângulo dividido pelo lado que está em frente ao ângulo de 90º ), cosseno (lado com o ângulo dividido pelo lado que está em frente ao ângulo de 90º), tangente (lado em frente ao ângulo dividido pelo lado que está entre o ângulo que ele deu e o ângulo de 90º; ou simplesmente seno dividido por cosseno)
Mas se não temos o ângulo de 90º no nosso triângulo, teremos que usar a lei dos senos ou a lei dos cossenos.
Produto Escalar entre dois vetores 

Produto Escalar usando as componentes de cada vetor
Produto Vetorial usando as componentes vetoriais

Produto Vetorial usando o determinante


Exercícios de vetores: Módulo 3 – moodle UnB
1. Após deixar uma plataforma de petróleo, um vazamento em um navio provoca uma mancha de petróleo quando a embarcação está 233 km ao Norte e 219 km ao Leste da plataforma. No primeiro dia, as correntes marítimas arrastam a mancha 24,1 km em uma direção 25° ao Sul do Leste. No segundo dia a mancha desloca-se 31,9 km exatamente na direção noroeste. Se, ao final do segundo dia, um helicóptero decolar da plataforma numa trajetória retilínea rumo à mancha, em que direção deverá voar? Marque sua resposta com o ângulo em graus medido em relação à direção Leste. Ângulos ao Norte da direção Leste são considerados positivos (i.e. sentido anti-horário). A resposta correta é: 48,34. 
Dica: Resolva a questão de forma organizada, separando bem o que é distância entre pontos do que é a coordenada referente ao eixo. Vá descobrindo as referências em x e y dos pontos, use seno e cosseno para descobrir as distâncias entre os pontos, depois some ou subtraia dos valores nos pontos. Eu separei o endereço do ponto em relação aos eixos colocando assim: (X;Y), talvez isso também possa te ajudar. Ao final, lembre que ele quer o ângulo... e a tangente do ângulo é cateto oposto dividido pelo cateto adjacente. Então, use uma calculadora científica, aperte 2nd (para acionar a segunda função) e aperte o botão tg-1 e você terá o valor do ângulo correspondente àquela tangente. Vale o mesmo para sen-1 e cos-1.

2. Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio 8,9m. Quanto vale a distância percorrida quando ele desliza ao redor da metade do círculo? A resposta correta é: 27,96. Dica: Distância percorrida é o trajeto por onde ele passou. Lembre que o perímetro do círculo (uma volta completa) vale 2πR.

3. Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio igual a 8,1m. Se ele anda ao redor da metade do círculo, qual é o módulo do vetor deslocamento? A resposta correta é: 16,20. Dica: Deslocamento é a distância entre o ponto final e o ponto inicial.

4. Um vetor tem uma componente x de 1 unidades e uma componente y de -12 unidades. Encontre o módulo deste vetor. A resposta correta é: 12,04. Dica: Teorema de Pitágoras.

5. Uma pessoa indo para uma caminhada segue a trajetória mostrada na figura. O passeio total consiste em quatro trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o módulo do deslocamento resultante (em metros) da pessoa medido a partir do ponto de partida? São dados os módulos dos vetores em metros: a = 147, b = 430, c = 255 e d = 338. A resposta correta é: 359,28.
Esta é resolve parecido com a da plataforma de petróleo. Coloque a referência dos pontos, vá descobrindo a referência dos pontos em x e y e some ou subtraia dos pontos. Ah, e cuidado porque muitas vezes as últimos pontos têm valores negativos em x. ;) Ao final, use o Teorema de Pitágoras com as referências x e y para saber a distância do ponto inicial ao ponto final.

5. O produto vetorial entre dois vetores não paralelos (e não anti-paralelos) é sempre perpendicular aos dois primeiros, quaisquer que sejam os ângulos entre eles. A resposta correta é: Verdadeiro. Dica: Esta é a definição da regra da mão direita aplicada à multiplicação de vetores.

6. Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio 3,7m. Quanto vale a distância percorrida quando ele desliza ao redor da metade do círculo? A resposta correta é: 11,62.

7.Uma esquiadora percorre 3,0 km do sul para o norte e depois 4,5 km do oeste para o leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ela está do ponto de partida? A resposta correta é: 5,41. Dica: Teorema de Pitágoras.

8. Uma esquiadora percorre 9,1 km do sul para o norte e depois 4,1 km do oeste para o leste em um campo horizontal coberto de neve. Qual o ângulo entre a vertical e o vetor resultante, em radianos? A resposta correta é: 0,42.



A outra questão lá de cima mais bem explicada:


1. A figura abaixo mostra dois vetores 𝐴  e 𝐵  qual das opções a seguir representa CORRETAMENTE o vetor 𝐶  = 𝐴 – 2𝐵  ?
A resposta correta é:

2. A projeção de um vetor sobre outro e nula quando o ângulo θ entre eles é 0°, e máxima quando o ângulo entre eles é 90°.
A resposta correta é: Falso.

3. Após deixar uma plataforma de petróleo, um vazamento em um navio provoca uma mancha de petróleo quando a embarcação está 318 km ao Norte e 233 km ao Leste da plataforma. No primeiro dia, as correntes marítimas arrastam a mancha 38,6 km em uma direção 22° ao Sul do Leste. No segundo dia a mancha desloca-se 33,7 km exatamente na direção noroeste. Se, ao final do segundo dia, um helicóptero decolar da plataforma numa trajetória retilínea rumo à mancha, em que direção deverá voar? Marque sua resposta com o ângulo em graus medido em relação à direção Leste. Ângulos ao Norte da direção Leste são considerados positivos (i.e. sentido anti-horário).
A resposta correta é: 53,19.

4. Considere os vetores mostrados na figura abaixo. Determine o módulo do vetor soma S = A  + B. Dados: |A | = 28,6 e |B | = 36,4.
A resposta correta é: 45,10.

5. Dados os dois deslocamentos D =(7,2 î +6,0 ĵ + 2,0 k̂ ) m e E =(7,4 î +1,6 ĵ +5,1 k̂) m, encontre o módulo do deslocamento 2DE .
A resposta correta é: 12,6.

6. Dois vetores a = 3 î + 9 ĵ + -14k̂ e b = 7 î + -12 ĵ + bzk̂ são ortogonais. Calcule o valor de bz.
A resposta correta é: -6,21.

7. Julgue os itens abaixo atribuindo (V) para os verdadeiros e (F) para os falsos.
Os componentes de um vetor não dependem dos eixos escolhidos. → F
Os componentes horizontal e vertical do vetor velocidade v com seta para a direita sobrescrito são v com x subscrito e v com y subscrito, respectivamente. Se as componentes são não nulas, podemos afirmar que |Vx| + |Vy| < |V|.     → F
Se a resultante da soma de três vetores é zero, então, a soma de quaisquer dois vetores é o negativo do terceiro vetor. → V

8. Marque a equação vetorial que descreve corretamente a relação entre os vetores A, B e C:
A resposta correta é: B = C A,

9. Qual é o menor ângulo, em graus, entre os vetores a = -9î + 13ĵ e b = -5î + -1ĵ ?
A resposta correta é: 66,61.

10. Se F= q (v x B) e v é perpendicular a B, qual é a orientação de B na situação da figura se a constante q é positiva? Os vetores unitários î, ĵ e k̂ apontam, respectivamente, nas direções positivas dos eixos x, y e z.
A resposta correta é: î 

11. O produto vetorial entre dois vetores não paralelos (e não anti-paralelos) é sempre perpendicular aos dois primeiros, quaisquer que sejam os ângulos entre eles.
A resposta correta é: Verdadeiro.

12. Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio 3,3m. Quanto vale a distância percorrida quando ele desliza ao redor da metade do círculo?
A resposta correta é: 10,37.

13. Um patinador desliza ao longo de uma trajetória circular de raio igual a 8,1m. Se ele anda ao redor da metade do círculo, qual é o módulo do vetor deslocamento?
A resposta correta é: 16,20.

14. Um vetor A possui componentes Ax = 13,5 cm e Ay = 14 cm; um vetor B possui módulo 39,9 cm e sua direção é tal que forma um ângulo de 53,4° com o eixo x positivo (medido no sentido anti-horário). Determine, em cm, o módulo do vetor diferença:  A – B
A resposta correta é: 20,76.

15. Um vetor tem uma componente x de 17 unidades e uma componente y de 23 unidades. Encontre o módulo deste vetor.
A resposta correta é: 28,60.

16. Uma partícula de carga q = -2,8 μC desloca-se em uma região com campo magnético uniforme B = 0,2mT ĵ com velocidade v = -8,0 km/s î + 2,6 km/s ĵ. Sabendo-se que a força magnética é dada pela equação F = q (v x B), em que v x B representa o produto vetorial dos vetores velocidade e campo magnético, calcule o módulo de F (multiplique sua resposta por 10^6).
A resposta correta é: 4,48.

17. Uma pessoa indo para uma caminhada segue a trajetória mostrada na figura. O passeio total consiste em quatro trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o módulo do deslocamento resultante (em metros) da pessoa medido a partir do ponto de partida? São dados os módulos dos vetores em metros: a = 188, b = 538, c = 251 e d = 271.
A resposta correta é: 459,41.

18. Uma esquiadora percorre 3,0 km do sul para o norte e depois 4,5 km do oeste para o leste em um campo horizontal coberto de neve. A que distância ela está do ponto de partida?
A resposta correta é: 5,41.

19. Uma esquiadora percorre 9,1 km do sul para o norte e depois 4,1 km do oeste para o leste em um campo horizontal coberto de neve. Qual o ângulo entre a vertical e o vetor resultante, em radianos?
A resposta correta é: 0,42.

Respostas


Questão realizada pela soma de vetores escritos pelas sua componentes em x e y.



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